γεωδαισιακές γραμμές

Καμπύλες ελάχιστου μήκους που συνδέουν δύο σημεία του χωροχρόνου. Οι εξισώσεις του Αϊνστάιν μας δίνουν τη δυνατότητα να γνωρίσουμε τις ιδιότητες του χωροχρόνου σε ένα βαρυτικό πεδίο, περιγράφουν δηλαδή την καμπυλότητα του χωροχρόνου, δεν εξηγούν όμως πώς θα κινηθούν τα σώματα σε αυτό τον καμπυλωμένο χώρο. Για να αντιμετωπίσουμε αυτή τη δυσκολία, υποθέτουμε ότι τα σωμάτια και οι ακτίνες φωτός κινούνται μέσα στον χωροχρόνο με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο. Ακριβέστερα, αν ένα σώμα πρόκειται να κινηθεί από το σημείο Α στο σημείο Β, η τροχιά που θα ακολουθήσει θα είναι η πιο σύντομη απόσταση που συνδέει αυτά τα δύο σημεία του χωροχρόνου. Αν ο χώρος είναι επίπεδος, είναι φανερό ότι η τροχιά θα είναι μία ευθεία γραμμή. Αν ο χώρος είναι καμπύλος, τότε η τροχιά που θα ακολουθήσει το σώμα, ονομάζεται γεωδαισιακή γραμμή. Οι εξισώσεις που πρέπει να λυθούν για να γίνει σωστή η τροχιά που θα ακολουθήσει ένα σώμα ή μία ακτίνα φωτός ονομάζονται γεωδαισιακές εξισώσεις και πολλά προβλήματα της γενικής θεωρίας της σχετικότητας συνίστανται στην ταυτόχρονη επίλυση των εξισώσεων πεδίου και των γεωδαισιακών εξισώσεων. Οι γεωδαισιακές καμπύλες διακρίνονται σε χρονοειδείς, φωτοειδείς ή χωροειδείς, αν αντίστοιχα το διάνυσμα που εφάπτεται σε καθεμία από αυτές είναι χρονοειδές, φωτοειδές ή χωροειδές. Αν δοθεί ένα σημείο του χωροχρόνου, τότε υπάρχουν άπειρες φωτοειδείς γεωδαισιακές γραμμές που περνούν από αυτό το σημείο. Όλες οι εφαπτόμενες αυτών των φωτοειδών γεωδαισιακών γραμμών σχηματίζουν μία κωνική επιφάνεια στο σημείο αυτό του χωροχρόνου που ονομάζεται κώνος φωτός (light cone). Οι χρονοειδείς καμπύλες που περνούν από το δεδομένο σημείο βρίσκονται μέσα στην κωνική επιφάνεια, ενώ οι χωροειδείς καμπύλες που περνούν από το ίδιο σημείο βρίσκονται έξω από την κωνική επιφάνεια. Η φυσική σημασία των καμπυλών αυτών έγκειται στην ονομαζόμενη γεωδαισιακή υπόθεση. Σύμφωνα με αυτήν δεχόμαστε ότι τα σωμάτια που κινούνται ελεύθερα (δηλαδή μόνο με την επίδραση του πεδίου βαρύτητας, που είναι αποτέλεσμα της καμπύλωσης του χωροχρόνου από την ύλη) ακολουθούν χρονοειδείς γεωδαισιακές γραμμές, ενώ τα ελεύθερα φωτόνια ακολουθούν φωτοειδείς γεωδαισιακές γραμμές. Γενικότερα οι χρονοειδείς καμπύλες παριστάνουν τροχιές υλικών σημείων και οι φωτοειδείς τροχιές φωτονίων. Με όσα γνωρίζουμε σήμερα κανένα υλικό σώμα δεν μπορεί να κινηθεί πάνω σε μία χωροειδή καμπύλη.